基本數列是等差數列和等比數列
一、等差數列
一個等差數列由兩個因素確定：首項a1和公差d.
得知以下任何一項，就可以確定一個等差數列（即求出數列的通項公式）：
1、首項a1和公差d
2、數列前n項和s(n),因為s(1)=a1,s(n)-s(n-1)=a(n)
3、任意兩項a(n)和a(m)，n,m為已知數
等差數列的性質：
1、前N項和為N的二次函數（d不為0時）
2、a(m)-a(n)=(m-n)*d
3、正整數m、n、p為等差數列時，a(m)、a(n)、a(p)也是等差數列
例題1：已知a(5)=8,a(9)=16,求a(25)
解： a(9)-a(5)=4*d=16-8=8
a(25)-a(5)=20*d=5*4*d=40
a(25)=48
例題2：已知a(6)=13,a(9)=19,求a(12)
解：a(6)、a(9)、a(12)成等差數列
a(12)-a(9)=a(9)-a(6)
a(12)=2*a(9)-a(6)=25
二、等比數列
一個等比數列由兩個因素確定：首項a1和公差d.
得知以下任何一項，就可以確定一個等比數列（即求出數列的通項公式）：
1、首項a1和公比r
2、數列前n項和s(n),因為s(1)=a1,s(n)-s(n-1)=a(n)
3、任意兩項a(n)和a(m)，n,m為已知數等比數列的性質：
1、a(m)/a(n)=r^(m-n)
2、正整數m、n、p為等差數列時，a(m)、a(n)、a(p)是等比數列
3、等比數列的連續m項和也是等比數列
即b(n)=a(n)+a(n+1)+...+a(n+m-1)構成的數列是等比數列。
三、數列的前N項和與逐項差
1、如果數列的通項公式是關于N的多項式，最高次數為P，則數列的前N項和是關于N的多項式，最高次數為P+1。
（這與積分很相似）
2、逐項差就是數列相鄰兩項的差組成的數列。
如果數列的通項公式是關于N的多項式，最高次數為P，則數列的逐項差的通項公式是關于N的多項式，最高次數為P-1。
（這與微分很相似）
例子：
1，16，81，256，625，1296 （a(n)=n^4)
15,65,175,369,671
50,110,194,302
60,84,108
24,24
從上例看出，四次數列經過四次逐項差后變成常數數列。
等比數列的逐項差還是等比數列
四、已知數列通項公式A（N），求數列的前N項和S（N）。
這個問題等價于求S（N）的通項公式，而S（N）=S（N-1）+A（N），這就成為遞推數列的問題。
解法是尋找一個數列B（N），
使S（N）+B（N）=S（N-1）+B（N-1）
從而S（N）=A（1）+B（1）-B（N）
猜想B（N）的方法：把A（N）當作函數求積分，對得出的函數形式設待定系數，利用B（N）-B（N-1）=-A（N）求出待定系數。
例題1：求S（N）=2+2*2^2+3*2^3+...+N*2^N
解：S（N）=S（N-1）+N*2^N
N*2^N積分得（N*LN2-1）*2^N/(LN2)^2
因此設B（N）=（PN+Q)*2^N
則 （PN+Q)*2^N-[P（N-1）+Q)*2^（N-1）=-N*2^N
（P*N+P+Q）/2*2^N=-N*2^N
因為上式是恒等式，所以P=-2，Q=2
B（N）=（-2N+2)*2^N
A（1）=2，B（1）=0
因此：S（N）=A（1）+B（1）-B（N）
=（2N-2）*2^N+2
例題2：A（N）=N*（N+1）*（N+2），求S（N）
解法1：S（N）為N的四次多項式，
設：S（N）=A*N^4+B*N^3+C*N^2+D*N+E
利用S（N）-S（N-1）=N*（N+1）*（N+2）
解出A、B、C、D、E
解法2：
S（N）/3！=C（3，3）+C（4，3）+...C（N+2，3）
=C（N+3，4）
S（N）=N*（N+1）*（N+2）*（N+3）/4
